Le sophisme du taux de base

Pendant la pandémie, une idée reçue s’est répandue : si un test Covid est fiable à 99 %, et que je suis positif, j’ai forcément 99 % de chances d’être malade, non ?

Faux.

Ce raccourci intuitif est victime du sophisme du taux de base (Base Rate Fallacy). Il confond deux probabilités très différentes :

La spécificité du test : la probabilité que le test soit positif sachant que vous êtes malade.
La valeur prédictive positive : la probabilité que vous soyez malade sachant que le test est positif.

Pour combler l’écart entre ces deux probabilités, il faut connaître la prévalence (le taux de base de la maladie dans la population).

Modifiez les paramètres ci-dessous pour observer à quel point la probabilité réelle change en fonction de la prévalence sous-jacente du virus.

Adjust Test Parameters

Prevalence (Base Rate)10.0%

Sensitivity (True Pos Rate)80.0%

Specificity (True Neg Rate)99.0%

Positive Predictive Value

Negative Predictive Value

Population Outcome

Population (Color)

Sick (Actual Positive)

Healthy (Actual Negative)

Test Accuracy (Pattern)

Correct Result (True)

Incorrect Result (False)

Les maths : la règle de Bayes

Nous pouvons calculer la probabilité exacte d’être malade après un test positif grâce à la règle de Bayes.

Il s’écrit mathématiquement ainsi :

P(\text{Malade} \mid \text{Test}^+) = \frac{P(\text{Test}^+ \mid \text{Malade}) \times P(\text{Malade})}{P(\text{Test}^+)}

Décomposons ce que signifie chacun de ces termes dans le contexte de notre simulation :

$P(\text{Malade} \mid \text{Test}^+)$ est la probabilité a posteriori (valeur prédictive positive). C’est ce que nous voulons réellement savoir : j’ai un test positif, suis-je malade ?
$P(\text{Test}^+ \mid \text{Malade})$ est la sensibilité (taux de vrais positifs). À quelle fréquence le test signale correctement une personne malade.
$P(\text{Malade})$ est la prévalence (probabilité a priori / taux de base). Le pourcentage de la population totale actuellement atteinte par la maladie.
$P(\text{Test}^+)$ est la probabilité totale d’obtenir un résultat positif, que l’on soit malade ou en bonne santé. Il faut la calculer en additionnant les vrais positifs et les faux positifs :

P(\text{Test}^+) = \underbrace{P(\text{Test}^+ \mid \text{Malade}) \times P(\text{Malade})}_{\text{Vrais positifs}} + \underbrace{P(\text{Test}^+ \mid \text{Sain}) \times P(\text{Sain})}_{\text{Faux positifs}}

Pourquoi ce paradoxe se produit

Lorsqu’une maladie est rare (par exemple, une prévalence de 1 %), la grande majorité de la population est en bonne santé ( $P(\text{Sain}) = 99\%$ ).

Même si un test est très spécifique (par exemple, seulement 1 % de faux positifs), 1 % d’une population saine massive génère un très grand nombre de fausses alertes. Ces faux positifs peuvent facilement dépasser en nombre les vrais positifs issus de la petite population malade.

Résultat : votre test positif n’est peut-être qu’une goutte d’eau dans l’océan des fausses alertes, ce qui signifie que votre probabilité réelle d’être malade est étonnamment faible.